ベクトルの外積の３重積の公式

《目次》電磁気学のベクトル解析

【３重積の公式の証明（その１）】
「エディントンのイプシロン」（レビチビタ記号とも呼ばれる）を使って３次元ベクトルの外積を定義し、その３次元ベクトルの外積の３重積を計算することで、３重積の公式を楽に導出して思い出せるようになります。

３次元ベクトルＡとベクトルＢの外積でベクトルＨを計算する式は、エディントンのイプシロンを使って：
ε_ｍｐｒａ_ｍｂ_ｐ＝ｈ_ｒ
（この様に書く場合は、通常は、アインシュタインの縮約記法による積の和を表しています）
と表して覚えた方が覚えやすいです。

また、３次元ベクトルＡとＢの内積は、クロネッカーのデルタ
δ_ｓｔ
を使って以下のように表すことができます。

ここで、以下の、３次元ベクトルＡとＢとＣの外積の３重積を計算します。

この式の計算は、エディントンのイプシロンを使って、アインシュタインの縮約表記で以下のようにあらわすことができます。

この式で出て来た、３次元ベクトルに関する２重のエディントンのイプシロンは、以下の様に展開できます。
先ず、値が０にならない場合を先に列記します。

以上の式以外の添え字を持つテンソルγ_ｓｔｉｊの値は全て０になります。
そのため、２重のエディントンのイプシロンを表すテンソルγ_ｓｔｉｊは、クロネッカーのデルタδの積の差の以下の式と等価です。

この等価な公式を覚えましょう。
この公式を使うと、以下の様に計算を進めることができます。

（証明おわり）

この、３次元ベクトルの外積の３重積の展開公式は、
以上の、３次元ベクトルに関する２重のエディントンのイプシロンの、クロネッカーのデルタの積の差への変換公式を使って、速やかに導き出す様に覚えましょう。

【３重積の公式の証明（その２）】
（公式の検算）
　３次元ベクトルの外積の３重積の展開公式は以下の図を書いて検算できます。

（検算おわり）

（公式の証明開始）
（１）
上の検算の結果：
ベクトルAがX方向のベクトルであり、
ベクトルBがY方向のベクトルである場合に、
ベクトルCがX方向のベクトルであってもY方向のベクトルであっても公式が成り立つ。

ベクトルCがZ方向のベクトルの場合も、結果が０になるので、公式が成り立つ。

よって、
ベクトルAがX方向のベクトルであり、ベクトルBがY方向のベクトルである場合は、
ベクトルCがどの方向のベクトルであっても公式が成り立つ。

（２）
ベクトルAがY方向のベクトルであり、ベクトルBがZ方向のベクトルである場合も、同様にして、
ベクトルCがどの方向のベクトルであっても公式が成り立つ。
（３）
ベクトルAがZ方向のベクトルであり、ベクトルBがX方向のベクトルである場合も、同様にして、
ベクトルCがどの方向のベクトルであっても公式が成り立つ。

（４）
以上の（１）から（３）の、ベクトルAとベクトルBを入れ替えた場合にも公式が成り立つ。
すなわち、（３）の場合のベクトルAとベクトルBを入れ替えた場合：
ベクトルAがX方向のベクトルであり、ベクトルBがZ方向のベクトルである場合も、同様にして、
ベクトルCがどの方向のベクトルであっても公式が成り立つ。

（５）ベクトルAがX方向のベクトルであれば、
ベクトルBがX方向の場合も、結果が０になるので、ベクトルCがどの方向のベクトルであっても公式が成り立つ。
（６）
以上の（１）と（４）と（５）より、
ベクトルAがX方向のベクトルであれば、
ベクトルBがどの方向のベクトルであっても、そして、ベクトルCがどの方向のベクトルであっても、公式が成り立つ。

（７）
以上の（６）と同様にして、
ベクトルAがY方向のベクトルの場合もZ方向の場合も、
ベクトルBがどの方向のベクトルであっても、そして、ベクトルCがどの方向のベクトルであっても、公式が成り立つ。

（８）
以上の（６）と（７）により、
ベクトルAがどの方向のベクトルであっても、
そして、ベクトルBがどの方向のベクトルであっても、
そして、ベクトルCがどの方向のベクトルであっても、
公式が成り立つ。

（証明（その２）おわり）

【３重積の公式の証明（その３）】
３重積の公式は以下の様に直交ベクトル系ａ，ｈ，ａvを定義して計算して求めることもできます。


先ず、３重積の公式の左辺を計算します。

次に、３重積の公式の右辺を計算します。

式９と式１０の値が一致するので、以下の式の３重積の公式が成り立つ。

（証明（その３）おわり）

 

　ベクトルの外積の三重積の公式は、ベクトルＣを、ベクトルＡとＢの張る平面に射影して、その射影したベクトルを、その平面内で９０°回転させたベクトルの表現の公式です。 

 

 【３重積の公式の証明（その４）】
その３の証明とほとんど同じ証明ですが、以下の形の計算を行って証明することができます。
（１）ベクトルＡの方向の単位ベクトルをベクトルＸとする。
（２）ベクトルＡとベクトルＢの張る平面上のベクトルで、ベクトルＡに垂直な単位ベクトルをベクトルＹとする。
（３）ベクトルＸとベクトルＹの外積をベクトルＺとする。ベクトルＺは単位ベクトルになる。
直交ベクトル系、Ｘ，Ｙ，Ｚで、ベクトルＡ，Ｂ，Ｃ、が以下の図のように表せる。

このとき、以下の式１が成り立つ。

また、以下の式２が成り立つ。

式１のベクトルと式２のベクトルが等しいので式３の関係が成り立つ。

（証明（その４）おわり）

【ベクトルの外積同士の内積の公式】
また、以下の公式も成り立ちます。
《証明（その１）開始》

（証明（その１）おわり）

 
《ベクトルの外積同士の内積の公式の証明（その２）》
上の公式は、三重積の公式を使って以下の様に証明することもできます。

（証明（その２）おわり）

《証明（その３）》

上の公式は、ここをクリックした先のサイトの証明のように、段階的に証明を進めて証明することもできます。

《証明（その４）》
また、上の公式は、ベクトルｈを用いて以下の様に計算して証明することもできます。

下図のように、ベクトルＡとベクトルＢの外積を単位ベクトルｈを使って表し、直交ベクトル系ｈとａとａvを定義する。


そして、公式の左辺の式を、以下の様にベクトルＣとベクトルＤをベクトルｈとベクトルａとベクトルａvであらわして計算する。


次に、公式の右辺の式を、ベクトルＣとベクトルＤをベクトルｈとベクトルＡとベクトルＢであらわして計算する。

　　 式１１と式１２の値が等しいので、以下の式が成り立つ。

（公式の証明（その４）おわり）

《応用例》
　この公式を応用すると、以下の定理が成り立つ。

電場と磁場をバランスさせる

「高校物理の発想の基本」
以下の図のような場合に、運動する電荷に対して、電場と磁場の力をバランスさせて力を打ち消すことができます。
　以下の図で、磁場は紙面の裏側に向けて紙面に垂直にかかっているものとします。

この場合に、この電荷と同じ速度で運動する座標系でこの電荷を見たら、以下の図のように見えます。

（磁場Ｈが運動すると誘導電場Ｅが生じる現象は、「電磁場のローレンツ変換」の公式であらわされます。この公式の理論は大学の２年生以上にならないと学ばないようです。）
　電荷が静止して見える座標系では、運動する磁場が発生する電場がもともとあった電場を打ち消す結果、合計した電場が０になります。
　その結果、上下の金属板間の電圧も０になります。電圧は、運動座標系が異なれば異なって見えます。

【蛇足】
　なお、もともとあった電場も運動することで発生する新たな磁場ΔＨの大きさを計算すると、相対性理論による磁場Ｈの大きさの誤差程度の磁場ΔＨの値になります。
　誤差範囲内の値なので、この値が元の磁場Ｈに加わるかどうかは、何とも言えません。正確な事実を知りたい人は、大学でアインシュタインの相対性理論の電磁場への適用を勉強して下さい。
（磁場Ｈが運動すると誘導電場Ｅが生じる現象は、「電磁場のローレンツ変換」の公式であらわされます。この公式の理論は大学の２年生以上にならないと学ばないようです。）


【リンク】
「高校物理の目次」

エディントンのイプシロンと行列式とベクトルの外積

「電磁気学のベクトル解析」の目次はここをクリック

「エディントンのイプシロン」（レビチビタ記号とも呼ばれる）を使って行列式が計算できます。
また、「エディントンのイプシロン」を使ってベクトルの外積を定義することで、ベクトルの外積の計算が楽になります。

【行列式】
行列式により、ベクトルが張る平行四辺形の面積や、斜方体の体積が計算できます。

「行列式」は、行の数と列の数が同じ正方行列の場合に計算できるものです。

（２行２列の行列の行列式）
２行２列の行列の行列式は、
その行列の要素が構成する２つの縦ベクトルが作る平行四辺形の面積をあらわすという意味を持ちます。

上図の式が行列式の記号です。

２行２列の行列Ａ_ｓｔの行列式は、
エディントンの行列式の計算記号ε_ｍｐを使って、アインシュタインの縮約記法であらわして、
ε_ｍｐＡ_ｍ１Ａ_ｐ２＝Σ_{（ｍ＝1,2；ｐ＝1,2）}｛ε_ｍｐＡ_ｍ１Ａ_ｐ２｝
（左辺の様な式を書いた場合は、通常は、アインシュタインの縮約記法による積の和を表しています）
で計算します。
この計算に利用する行列ε_ｍｐは、
ｍ≠ｐの場合の、
ε_１２＝１，
ε_２１＝－１
であり、
それ以外の、ｍ＝ｐとなる場合の、
ε_ｍｐ＝ε_１１＝ε_２２＝０
です。

エディントンの計算記号ε_ｍｐを定める規則は単純であり、
(1) ε_ｍｐの添え字の値が等しければ、その値が０であり、すなわち、０＝ε_１１＝ε_２２であり、
(2) また、
ε_１２＝１であり、
(3) ε_ｍｐの任意の２つの添え字を入れ替えると、その値の正負の符号が変わる、すなわち、－１＝ε_２１である。
これは、ε_ｍｐがε_ｍｐｒになっても同じ規則が成り立ちます。

行列式
ε_ｍｐＡ_ｍ１Ａ_ｐ２
（この様に書く場合は、通常は、アインシュタインの縮約記法による積の和を表しています）
 は、
ベクトルＡ：
（ａ_１，ａ_２）＝（Ａ_１１，Ａ_２１）と、
ベクトルＢ：
（ｂ_１，ｂ_２）＝（Ａ_１２，Ａ_２２）
の作る平行四辺形の面積をあらわすという意味を持ちます。
ε_ｍｐＡ_ｍ１Ａ_ｐ２＝ε_ｍｐａ_ｍｂ_ｐ
となる右辺の式であらわした方が分かり易いかもしれません。

行列式を具体的に計算すると、
ε_ｍｐＡ_ｍ１Ａ_ｐ２＝Ａ_１１Ａ_２２－Ａ_２１Ａ_１２＝ａ_１ｂ_２－ａ_２ｂ_１

です。
　なお、行列式の計算方法は、行と列を入れ替えても変わらない、行と列に関して対称な式になっています。
すなわち、行列式は、以下の式でも計算できます。
ε_ｍｐＡ_１ｍＡ_２ｐ
（この様に書く場合は、通常は、アインシュタインの縮約記法による積の和を表しています）

（行列式は平行四辺形の面積）
　以下で、行列式がベクトルの作る平行四辺形の面積を計算するものであることを説明します。
 
【第１の証明】
一言で言うと、行列式の計算式を見ると、
１列目のベクトルに垂直で長さが同じベクトルと、２列目のベクトルとの内積の計算であることがわかります。
ベクトルＨを以下の式で定義してみます。
ε_ｍｐａ_ｍ＝ｈ_ｐ
（この様に書く場合は、通常は、アインシュタインの縮約記法による積の和を表しています）
上の式でベクトルＨを定義すると、
ベクトルＨはベクトル（－ａ_２，ａ_１）になります。
そのベクトルＨの長さは、ベクトルＡと同じです。
ベクトルＨとベクトルＡの内積を以下で計算します。
すると、その内積は：
ｈ_ｐａ_ｐ＝ε_ｍｐａ_ｍａ_ｐ＝ａ_１ａ_２－ａ_２ａ_１＝０
になり、０になります。
ベクトルＨとベクトルＡの内積が０になるので、ベクトルＨ、すなわち、ｈ_ｐはベクトルＡに垂直なベクトルであることがわかります。

また、ｈ_ｐｂ_ｐ＝ε_ｍｐａ_ｍｂ_ｐ 
（この様に書く場合は、通常は、アインシュタインの縮約記法による積の和を表しています）
となり、ベクトルＨとベクトルＢの内積が行列式をあらわします。
ベクトルＡに垂直でベクトルＡと同じ長さのベクトルＨとベクトルＢの内積は、 ベクトルＡとベクトルＢを斜辺とする平行四辺形ＯＡＤＢの面積ですので、行列式ε_ｍｐａ_ｍｂ_ｐの値は、その平行四辺形ＯＡＤＢの面積です。
（証明おわり）

　これで証明ができましたが、以下の様な見方で考えるのも面白いと思うので読んでください。

（平行四辺形の面積の計算）
　以下で、平行四辺形の面積を要素に分解して計算し、その要素を合計して平行四辺形の面積を計算します。
　以下のように、座標系が回転しても結果が変わらないように面積の計算規則を定める点がポイントです。
（注意）以下の式の「×」記号は、ベクトルの外積とは異なる独自の計算ルールを表す記号です。

　Ｘ座標軸を反時計まわりに９０°回転させてＹ座標軸に重ねると、Ｙ座標軸は反時計まわりに９０°回転してＸ座標軸の負の方向を向いて重なる。そのため、ＸベクトルとＹベクトルの張る（ベクトルの順と成す角の向きを考えた）平行四辺形の面積を正にした場合、このように座標を回転させても面積が変わらないようにするには、必然的に、ベクトルの順と成す角の向きを考えた、Ｙベクトルと、Ｘ方向の負の方向を向いたベクトルの張る平行四辺形の面積を正にする必要がある。それは、ＹベクトルとＸ方向の正の方向を向いたベクトルの張る平行四辺形の面積を負にしなければならない事を意味する。

　下図の様に、ベクトルＡとＢが平行な場合にベクトルＡとＢが張るつぶれた平行四辺形の面積は０である。
その平行四辺形の面積を、ベクトルＡとＢをそれぞれ、Ｘ方向のベクトルとＹ方向のベクトルの和で表し、その和のベクトルＡとＢの積を、Ｘ方向のベクトルとＹ方向のベクトルの積の和に展開して、以上で定めた計算規則に従って計算すると、その計算結果も０になる。

また、同じ方向を向くベクトルＡとＢが張るつぶれた平行四辺形は、その平行四辺形を回転させてどの方向を向かせても、同じ０の値の面積が計算できる。
　平行四辺形を張るベクトルＡ及びＢをＸ方向のベクトルとＹ方向のベクトルに分解すると、ベクトルＡの分解されたベクトルとベクトルＢの分解されたベクトルの積の組み合わせが作る平行四辺形が４個できる。その４個のうち２つの平行四辺形は、同じ方向のベクトルの張るつぶれた平行四辺形であり、その面積が０なので無視できる。
そして、その４個の平行四辺形の面積の和で、ベクトルＡとＢの張る平行四辺形の面積を計算したい。
上の例では、少なくとも面積が０のつぶれた平行四辺形の面積の計算では、その０の面積が、ベクトルＡの分解されたベクトルとベクトルＢの分解されたベクトルの積の組み合わせが作る４個の平行四辺形の和と同じになる演算ができる様になった。

　次に、下図のように、ベクトルＡとベクトルＢの張る平行四辺形の面積を、同じ面積を維持するように高さを保たせて変形した平行四辺形にして面積を求める手法を、ベクトルＡを分解したベクトルとベクトルＢとの積の和を計算する手法に対応させて面積を計算する。

　上図の、平行四辺形の変形と分解操作に対応するベクトルの積の式の分解操作の計算が以下の式であらわせる。

 

式０の様に、ベクトルＡとベクトルＢの（順番を考えた）積はそのベクトルＡを分解した各ベクトルとベクトルＢの張る各平行四辺形の面積の和に対応付けられる。

すなわち：
（ベクトルＡのベクトルＢに対する垂直成分の長さ）×（ベクトルＢの長さ）
が平行四辺形の面積を表す。
一方、ベクトルＡを分解して、
ベクトルＡ＝ベクトルＡ１＋ベクトルＡ２
とすると：
ベクトルＡ１のベクトルＢに対する垂直成分の長さと、
ベクトルＡ２のベクトルＢに対する垂直成分の長さの和は、
ベクトルＡのベクトルＢに対する垂直成分の長さに等しい。
そのため、
ベクトルＡとベクトルＢが張る平行四辺形の面積
＝（ベクトルＡ１とベクトルＢが張る平行四辺形の面積）
＋（ベクトルＡ２とベクトルＢが張る平行四辺形の面積）
の関係が成り立つ。
その関係は、
ベクトルＡ×ベクトルＢ
＝（ベクトルＡ１×ベクトル Ｂ）
＋（ベクトルＡ２×ベクトルＢ）
に分解した式で表すことができる。

すなわち、ベクトルが張る平行四辺形の面積についての分配法則に対応して、ベクトルの加法と（ベクトルの順番を考えた）乗法についての分配法則が共に成り立っている。

　また、上図の様に、ベクトルＡとベクトルＢの張る平行四辺形を、
その平行四辺形を構成する２番目のベクトルＢを、ベクトルＡのｋ倍のベクトルを加えて、ベクトルＡに対する高さを保たせて歪めたベクトルＢ２に変える。
そうして、ベクトルＡとベクトルＢ２の張る平行四辺形を考える。
その場合、以下の式が成り立つ。
ベクトルの加法と乗法についての分配法則により、
ベクトルＡ×ベクトルＢ２
＝（ベクトルＡ×ベクトルＢ）
＋（ベクトルＡ×ｋ（ベクトルＡ））
と表すことができる。

ここで、
（ベクトルＡ×ｋ（ベクトルＡ））
は面積が０のつぶれた平行四辺形をあらわしているので、その面積は０である。

それゆえ、
ベクトルＡ×ベクトルＢ２＝ベクトルＡ×ベクトルＢ
が成り立つ。
この式は、底辺の長さが同じで高さが等しい平行四辺形の面積が等しい事実と一致している。
この様に、平行四辺形の面積を表すベクトルの加法と乗法の分配法則が、変形した平行四辺形の面積の法則と一致して、成り立っている。

　以上の演算規則で定めた、Ｘ座標方向の単位ベクトルとＹ座標方向の単位ベクトルが作る平行四辺形の面積の符号に合わせて、エディントンの計算記号ε_ｍｐを定める。

それにより、ベクトルＡの分解されたベクトルとベクトルＢの分解されたベクトルの積の組み合わせが作る４個の平行四辺形の面積は、
ε_ｍｐａ_ｍｂ_ｐ
で表せる。
その４個の面積要素の和を行列式と定義する。

エディントンの計算記号ε_ｍｐは、以上で定めたＸ方向のベクトルとＹ方向のベクトルの積の値の正負の演算規則に合わせることで：
ｍ＝ｐとなる場合に、
ε_ｍｐ＝ε_１１＝ε_２２＝０
にし、
ｍ≠ｐの場合に、
ε_１２＝１，
にし、
その添え字の順を入れ替えると符号が変わる、
ε_２１＝－１
に定める。
その様にエディントンの計算記号ε_ｍｐを定める。

その様に正負を定めた４つの平行四辺形の面積ε_ｍｐａ_ｍｂ_ｐの和をアインシュタインに縮約記法によって、
 ε_ｍｐａ_ｍｂ_ｐ＝Σ_{（ｍ＝1,2；ｐ＝1,2）}｛ε_ｍｐａ_ｍｂ_ｐ｝
 とあらわして、
ベクトルＡとベクトルＢの張る平行四辺形の面積を計算し、その値を行列式の値にする。
　その様にエディントンの計算記号ε_ｍｐを定め、行列式の演算をε_ｍｐを使って定める事で、その行列式が、元のベクトルが張る平行四辺形の面積になる。

（平行四辺形の面積を１つ目のベクトルに垂直なベクトルと２つ目のベクトルの内積であらわす）
　先に簡単に説明した事だが、念のため、以下で、このことを詳しく説明する。
　三角形の面積Ｓは、以下の様に、ベクトルＡに垂直なベクトルＨ＝Ａ_ｖとベクトルＢの内積であらわすことができる。

（式１’が平行四辺形の面積２Ｓの公式）
こうして得た式１’は、先に計算した行列式による面積の計算式１ａと同じ式になった。
　すなわち、２行２列の行列式は、ベクトルＡに垂直なベクトルＨ＝Ａ_ｖとベクトルＢの内積であらわすことができる。
　行列式はベクトルが張る平行四辺形の面積を表すが、その平行四辺形の面積は、ベクトルＡに垂直なベクトルＡ_ｖとベクトルＢの内積でもあらわすことができる。そのため、行列式の計算を、ベクトルＡに垂直なベクトルＡ_ｖとベクトルＢの内積の計算を表しているものと解釈して、行列式の計算から、ベクトルＡに垂直なベクトルＡ_ｖを導き出すことができる。

ベクトルＢが、（ｂ_１，ｂ_２）であるとき、
行列式の値が、－ｂ_１ａ_２＋ｂ_２ａ_１です。
ベクトルＢとの内積がこの行列式の値になるベクトル（－ａ_２，ａ_１）を調べる。
このベクトルは、ε_ｍｐａ_ｍａ_ｐ＝ｈ_ｐａ_ｐとあらわしたベクトルＨ＝ｈ_ｐであり、アインシュタインの縮約記法で：
ｈ_ｐ＝ε_ｍｐａ_ｍ＝Σ_{（ｍ＝1,2）}｛ε_ｍｐａ_ｍ｝
となります。
このベクトル（－ａ_２，ａ_１）とベクトルＡ（ａ_１，ａ_２）の内積＝０なので、
ベクトル（－ａ_２，ａ_１）は、ベクトルＡに垂直であり、ベクトルＡ_ｖに平行である。
しかも、ベクトル（－ａ_２，ａ_１）とベクトルＢの内積が行列式の値と同じなので、
ベクトル（－ａ_２，ａ_１）＝ベクトルＡ_ｖである。 

（注意）
ｈ_ｐ＝ε_ｍｐａ_ｍ＝Σ_{（ｍ＝1,2）}｛ε_ｍｐａ_ｍ｝
ですが、
ε_ｍｐａ_ｐ＝Σ_{（ｐ＝1,2）}｛ε_ｍｐａ_ｐ｝＝－ｈ_ｍ
になります。 

（３行３列の行列式）
３行３列の行列の行列式は、その行列の要素が構成する３つのベクトルＡとＢとＣが作る斜方体の体積をあらわすという意味を持つ。

　また、３つの３次元ベクトルの先端と原点とを頂点とする三角錐の体積は、その３つの３次元ベクトルを３つの列ベクトルとする行列式の値を６分の１にした値になる。

３行３列の行列Ａ_ｓｔの行列式は、
エディントンの行列式の計算記号ε_ｍｐｒを使って、アインシュタインの縮約記法であらわして、
ε_ｍｐｒＡ_ｍ１Ａ_ｐ２Ａ_ｒ３
で計算できる。

この計算に利用する行列ε_ｍｐｒは、テンソルと呼ばれる。
（特に、物理学では、空間の位置座標をあらわすベクトル等の具体的な物理量を表すベクトルや、そのベクトルを変換する行列に、物理的意味を付けて呼ぶ。テンソルも、物理的意味の違いにより、テンソルか、擬テンソルと呼ばれる）
ＸＹＺ座標系での物理的長さを持つベクトルの張る斜方体の体積をあらわす行列式を計算するテンソルε_ｍｐｒは、擬テンソルと呼ばれる。

エディントンの計算記号ε_ｍｐｒを定める規則は単純であり、
(1) ε_ｍｐｒの添え字の値のどれかが等しければ、その値が０であり、
(2) また、
ε_１２３＝１であり、
(3) ε_ｍｐｒの任意の２つの添え字を入れ替えると、その値な正負の符号が変わる。
という規則に従って、全てのε_ｍｐｒの値が定まる。
すなわち ε_ｍｐｒは、ｍ＝ｐ or ｍ＝ｒ or ｐ＝ｒの場合に、
ε_ｍｐｒ＝０
であり、
ｍ≠ｐ、ｍ≠ｒ、ｐ≠ｒの場合に、
ε_１２３＝ε_２３１＝ε_３１２＝１
であり、
上の要素の座標の添え字を入れ替えた場合の、
ε_２１３＝ε_３２１＝ε_１３２＝－１
という様に値を負にする。

なお、以下の様に添え字を入れ替えていくと、
ε_２３１＝ーε_２１３＝ε_１２３＝１
と変換して値が求められる。

行列式
ε_ｍｐｒＡ_ｍ１Ａ_ｐ２Ａ_ｒ３
は、
ベクトルＡ：
（ａ_１，ａ_２，ａ_２）＝（Ａ_１１，Ａ_２１，Ａ_３１）と、
ベクトルＢ：
（ｂ_１，ｂ_２，ｂ_２）＝（Ａ_１２，Ａ_２２，Ａ_３２）と、
ベクトルＣ：
（ｃ_１，ｃ_２，ｃ_２）＝（Ａ_１３，Ａ_２３，Ａ_３３）
の作る斜方体の体積をあらわすという意味を持つ。

行列式を具体的に計算すると、
ε_ｍｐｒＡ_ｍ１Ａ_ｐ２Ａ_ｒ３
＝Ａ_１１Ａ_２２Ａ_３３
＋Ａ_２１Ａ_３２Ａ_１３
＋Ａ_３１Ａ_１２Ａ_２３
－Ａ_２１Ａ_１２Ａ_３３
－Ａ_３１Ａ_２２Ａ_１３
－Ａ_１１Ａ_３２Ａ_２３

である。

（斜方体の体積の計算）
以下で、斜方体の体積を要素に分解して計算し、その要素を合計して斜方体の体積を計算する。
　以下のように、座標系が回転しても結果が変わらないように体積の計算規則を定める点がポイントです。
（注意）以下の式の「×」記号は、ベクトルの外積とは異なる独自の計算ルールを表す記号です。

　以上の演算規則を定めることで、下図の様に、ベクトルＡとＢが平行な場合にベクトルＡとＢが張るつぶれた平行四辺形とベクトルＣが張る体積０のつぶれた斜方体の体積を、下の式の様に、ベクトルを要素に分解した各要素ベクトルの体積の和で計算できる様になった。

　上図の斜方体の体積を、ベクトルＡとＢをそれぞれ、以下の式で、Ｘ方向のベクトルとＹ方向のベクトルとＺ方向のベクトルの和で表し、その和のベクトルＡとＢとベクトルＣの積を、Ｘ方向のベクトルとＹ方向のベクトルとＺ方向のベクトルの積の和に展開して計算すると、その計算結果も０になる。

上の計算により、同じ方向を向くベクトルＡとＢが張るつぶれた平行四辺形とベクトルＣが張るつぶれた斜方体は、その斜方体を回転させてどの方向を向かせても、同じ０の値の体積に計算できる事が示された。

　また、以下の計算により、体積が１の、ベクトルＸとＹとＺの張る斜方体に、体積０の潰れた斜方体を加えていくと、ベクトル（－Ｙ）とベクトルＸとベクトルＺの斜方体に変換できる。

 これは、元の体積１の斜方体をＺ軸のまわりに回転させた斜方体である。

　また、例えば、以下の式の様に、ベクトルＡとＢとＣが張る斜方体の体積を表す式に、ベクトルＡとＢと、ベクトルＡのｓ倍とベクトルＢのｔ倍の和のベクトルとが張る、体積が０のつぶれた斜方体の体積を表す式を加える。

式を整理すると、元の斜方体を張るベクトルＣが、ベクトルＡとＢの張る平面に対する高さを維持して傾けたベクトルＣ’に変換され、ベクトルＡとＢとＣ’の張る斜方体の体積を表す式に変換される。
そして、そのように歪めた斜方体の体積は元の斜方体の体積と同じであるが、計算結果も同じ体積が計算できる様になった。

　また、Ｘ方向のベクトルとＹ方向のベクトルの加法と乗法について分配法則が成り立つ。Ｘ方向のベクトルとＺ方向のベクトルについても同様に分配法則が成り立ち、Ｙ方向のベクトルとＺ方向のベクトルについても同様に分配法則が成り立つ。その結果、全方向のベクトルの加法と乗法について分配法則が成り立つ。
　ベクトルＡとＢとＣが張る斜方体のベクトルＣを２つのベクトルＣ１とＣ２の和に分解すると、
ベクトルＡとＢとＣの張る斜方体の体積をＶとし、
ベクトルＡとＢとＣ１が張る斜方体の体積をＶ１とし、
ベクトルＡとＢとＣ２が張る斜方体の体積をＶ２とすると、
ベクトルが張る斜方体の体積の間に
Ｖ＝Ｖ１＋Ｖ２
という関係が成り立つ。
一方で、
ベクトルＡ×ベクトルＢ×ベクトルＣ
＝ベクトルＡ×ベクトルＢ×ベクトルＣ１
　＋ベクトルＡ×ベクトルＢ×ベクトルＣ２ 
というベクトルの加法と乗法についての分配法則が成り立つ。

　斜方体として、
ベクトルＡ：
（ａ_１，ａ_２，ａ_２）＝（Ａ_１１，Ａ_２１，Ａ_３１）と、
ベクトルＢ：
（ｂ_１，ｂ_２，ｂ_２）＝（Ａ_１２，Ａ_２２，Ａ_３２）と、
ベクトルＣ：
（ｃ_１，ｃ_２，ｃ_２）＝（Ａ_１３，Ａ_２３，Ａ_３３）と、
の３つのベクトルが張る斜方体を考える。
　この斜方体を張るベクトルＡとＢとＣをＸ方向のベクトルとＹ方向のベクトルとＺ方向のベクトルに分解すると、ベクトルＡの分解されたベクトルとベクトルＢの分解されたベクトルとベクトルＣの分解されたベクトルの積の組み合わせが作る斜方体が２７個できる。そのうち２１個の斜方体は、少なくも２つのベクトルが同じ方向を向いた３つのベクトルで張られるつぶれた斜方体であり、その体積が０であるため無視できる。その２７個の斜方体の体積の和が、ベクトルＡとＢとＣの張る斜方体の体積と同じになる演算ができる様になった。

　そして、ベクトルＡの分解されたベクトルとベクトルＢの分解されたベクトルとベクトルＣの分解されたベクトルの積の組み合わせが作る２７個の斜方体の体積に係る、Ｘ方向の単位ベクトルとＹ方向の単位ベクトルとＺ方向の単位ベクトルを組み合わせた積の符号を、エディントンの計算記号ε_ｍｐｒを用いて定める。

この式でε_ｍｐｒを定義することで、
(1) ε_ｍｐｒの添え字の値のどれかが等しければ、その値が０であり、
(2) また、
ε_１２３＝１であり、
(3) ε_ｍｐｒの任意の２つの添え字を入れ替えると、その値な正負の符号が変わる。
という規則が成り立つ。
その規則に従うε_ｍｐｒを使うことで、ベクトルＡの分解されたベクトルとベクトルＢの分解されたベクトルとベクトルＣの分解されたベクトルの積の組み合わせが作る２７個の斜方体の各々の体積は、
ε_ｍｐｒａ_ｍｂ_ｐｃ_ｒ
で表せる（ここでは例外的にアインシュタインの縮約記法の積の和を使わず、１つの積のみを表す）。
その２７個の体積要素の和を行列式と定義し、アインシュタインの縮約記法で、
ε_ｍｐｒａ_ｍｂ_ｐｃ_ｒ
と表す。

　以上で、斜方体の体積を２７個の体積要素に分解して計算し、その体積要素を合計して斜方体の体積が得られた。
　そして、個々の単位ベクトルが張る斜方体の体積の和が、ベクトルＡとＢとＣが張る斜方体の体積になるように、個々の斜方体の体積の正負を定める規則が、エディントンの行列式の計算記号ε_ｍｐｒに反映されて定められている。
　そのように、３階のエディントンの計算記号ε_ｍｐｒを定める事で、３個のベクトルＡとＢとＣが張る３次元の斜方体の体積が、各ベクトルを複数のベクトルに分解した場合の各ベクトルの張る複数の３次元の斜方体の体積の和になる。
　すなわち、ベクトルの基本要素の３つの積で表される体積要素の３×３×３＝２７組の各体積要素の符号をエディントンの計算記号ε_ｍｐｒを用いて定め、その２７＝３^３個の体積要素の和を、行列式にする。

　こうして、エディントンの行列式の計算記号ε_ｍｐｒを用いて表す、ε_ｍｐｒａ_ｍｂ_ｐｃ_ｒによる計算を、３×３の行列式の計算規則とする。
その様に行列式を、ε_ｍｐｒａ_ｍｂ_ｐｃ_ｒで計算する事に定める事で、その行列式が元のベクトルが張る斜方体の体積を計算する式になる。

（面に垂直なベクトルと残りのベクトルの内積で体積を求める）
この斜方体の体積は、ベクトルＡとＢに垂直で、大きさがベクトルＡとＢの張る平行四辺形の面積に等しいベクトルＨとベクトルＣの内積であらわすことができる。

　そのために、
行列式の計算を、ベクトルＨとベクトルＣの内積の計算を表しているものと解釈して、
行列式の計算から、以下の様にしてベクトルＨを導き出すことができる。

ε_ｍｐｒａ_ｍｂ_ｐ＝ｈ_ｒと表す。
ベクトルｈ_ｒとベクトルＡとの内積＝ε_ｍｐｒａ_ｍｂ_ｐａ_ｒ＝０であり、
（同じベクトルが並ぶ行列式の値は０であるため）
ベクトルｈ_ｒとベクトルＢとの内積＝ε_ｍｐｒａ_ｍｂ_ｐｂ_ｒ＝０です。
（同じベクトルが並ぶ行列式の値は０であるため）
そのため、
ベクトルｈ_ｒはベクトルＡとＢに垂直である。

（補足）
同じベクトルが並ぶ行列式の値が０になることは、ε_ｍｐｒを用いて以下の様に証明できる。
【証明開始】
ε_ｍｐｒ＝－ε_ｒｐｍであるので、
ε_ｍｐｒａ_ｍｂ_ｐａ_ｒ＝－ε_ｒｐｍａ_ｍｂ_ｐａ_ｒ
＝－ε_ｒｐｍａ_ｒｂ_ｐａ_ｍ＝－ε_ｍｐｒａ_ｍｂ_ｐａ_ｒ ，
∴　２ε_ｍｐｒａ_ｍｂ_ｐａ_ｒ＝０ ，
ε_ｍｐｒａ_ｍｂ_ｐａ_ｒ＝０ ，
（証明おわり）

また、
ベクトルＣが、（ｃ_１，ｃ_２，ｃ_２）であり、
行列式の値＝ε_ｍｐｒａ_ｍｂ_ｐｃ_ｒ ＝ｈ_ｒｃ_ｒであり、
行列式が表す斜方体の体積がベクトルｈ_ｒとベクトルｃ_ｒの内積の値に等しいので、
ベクトルｈ_ｒの大きさは、ベクトルＡとＢの張る平行四辺形の面積に等しい。

以上の結果から、 ε_ｍｐｒａ_ｍｂ_ｐ＝ｈ_ｒは、
ベクトルＡとＢに垂直で、大きさがベクトルＡとＢの張る平行四辺形の面積に等しいベクトルＨです。
ベクトルＡとＢに垂直なベクトルＨを計算する上の式は、
ベクトルの外積の計算式：
ベクトルＡ×ベクトルＢ＝ベクトルＨ
を表している。
ベクトルの外積の計算式は、上の式
ε_ｍｐｒａ_ｍｂ_ｐ＝ｈ_ｒ
で覚えた方が覚えやすいです。
（念のため補足：この式はアインシュタインの縮約記法で表した積の和）

　このように、エディントンの行列式の計算記号ε_ｍｐを用いて表す行列式は、行列を構成するベクトルが作る面積や体積をあらわします。

（ｎ行ｎ列の行列式）
ε_{（ｐ１）（ｐ２）（ｐ３）・・・（ｐｎ）}｛Ａ_{（ｐ１）１}Ａ_{（ｐ２）２}Ａ_{（ｐ３）３}・・・Ａ_{（ｐｎ）ｎ}｝
でｎ行ｎ列の行列式を計算する。
このエディントンの計算記号の集合は、添え字が２つのものは行列と呼び、添え字が３つ以上のものと行列とは合わせてテンソルと呼ぶ。
このエディントンの計算記号ε_{（ｐ１）（ｐ２）（ｐ３）・・・（ｐｎ）}は、ｎ^ｎ個の要素を持つが、
その各要素は、以下の値を持つ。
添え字のうちの少なくとも２つが同じ添え字になる場合、
ε_{（ｐ１）（ｐ２）（ｐ３）・・・（ｐｎ）} ＝０
であり、
ε_{（１）（２）（３）・・・（ｎ）}＝１
であり、この添え字の位置を交換すると（－１）倍になる。例えば、１と２を交換すると、
ε_{（２）（１）（３）・・・（ｎ）}＝－１
になる。

（備考）
ε_1,2,3,4＝１ですが、
ε_2,1,3,4＝ー１ ,
ε_2,3,1,4＝１ ,
ε_2,3,4,1＝ー１ ,
になり、添え字を１つづつずらして循環したら符号が変わります。
しかし、添え字の数を奇数にすれば、
１＝ε_1,2,3,4,5＝ε_2,3,4,5,1
のように、添え字を１つづつずらして循環したら符号が同じになります。

　その様にｎ階のエディントンの計算記号ε_{ｍｐ・・・}を定める事で、ｎ個のベクトルが張るｎ次元の斜方体の体積が、そのベクトルを複数のベクトルに分解した場合の各ベクトルの張る複数のｎ次元の斜方体の体積の和になる。
　そして、斜方体を張るｎ個のベクトルをｎ次元の各座標軸方向のｎ個の要素のベクトルに分解して、ｎ個の要素のベクトルをｎ組掛け合わせて体積を求める。
そのｎ^ｎ個の各要素の符号をエディントンの計算記号ε_{ｍｐ・・・}を用いて定め、そのｎ^ｎ個の体積要素の和を、行列式にする。その様に行列式を定める事で、その行列式が、元のベクトルが張るｎ次元の斜方体の体積をあらわす。

【行列式は行と列を入れ替えても結果が同じ】
行列式は、計算の元になる行列の行と列に関して対称な計算式です。そのため、行と列を入れ替えた行列でも行列式は同じ値になります。