アインシュタインの縮約記法

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ベクトル解析の問題を解くとき、アインシュタインの縮約記法を用いると便利です。

　以下の、「行列の掛け算の定理」を証明するという課題を解く例を参考にして、アインシュタインの縮約記法を説明します。
 
（条件１）ベクトルＤが、以下の式１と式２によりベクトルＦに変換されること。その式の係数が行列Ａを成すこと。

式１と式２の演算の係数を添え字を付けて区別して式３で表します。
この式３は、式３’とあらわすと便利です。
この表し方はアインシュタインが提案した表記方法です（アインシャタインの縮約記法）。
この式３’は、変数で表した添え字の変数名が同じ場合に、その変数名の添え字のあらゆる場合（この場合は１と２のみ）について和をとることにした式です。

（条件２）ベクトルＦが、以下の式４と式５によりベクトルＧに変換されること。その式の係数が行列Ｂを成すこと。

式４と式５の演算の係数を添え字を付けて式６で表します。
この式６は、アインシュタインの縮約記法の式６’であらわせます。

式６’に式３’を代入すると式７が得られます。
式７は、更に式８に変形できます（式８はアインシュタインの縮約記法であらわした式です）。
式８’のように、演算Ａと演算Ｂを合成した演算Ｃを考えます。
式８から、演算Ｃをあらわす行列Ｃの要素の値を計算する式９が得られます。
こうして、演算ＡとＢの行列の要素を用いた式９で演算Ｃをあらわす行列Ｃの要素が計算できることがわかりました。

この演算Ｃを、式１０のように、演算Ａと演算Ｂの積（掛け算）と定義します。
そして、その演算Ａと演算Ｂの掛け算である演算Ｃの行列の要素は式９’で計算できます。
これが、行列の掛け算の定理です。

すなわち、行列の掛け算の定理を、以下のようにあらわすことができます。
（条件１）ベクトルを式１～２でベクトルに変換する演算Ａの行列Ａが定義され、
（条件２）ベクトルを式４～５でベクトルに変換する演算Ｂの行列Ｂが定義されている場合に以下のことが成り立つ。
（結果）
第１のベクトルを演算Ａで変換して第２のベクトルを得、更に、第２のベクトルを演算Ｂで変換して第３のベクトルを得る場合、
その２つの演算は、第１のベクトルを第３のベクトルに変換する演算Ｃにまとめることができる。
演算Ｃの行列Ｃは、式９’で計算することで求めることができる。
その演算Ｃを、演算Ａに演算Ｂを掛け算した演算であると定義する。
演算Ｃの行列の要素を計算する式９’の計算を、行列の掛け算と定義する。

【計算の形】
なお、この掛け算の計算方式をベクトルＡとＢの内積にあてはめると、以下の形の行列の計算になる。

この計算は、横ベクトルＡと縦ベクトルＢの積であらわせる。
一方、アインシュタインの縮約記法では、ベクトルを縦ベクトルと横ベクトルの形に区別しないで内積の計算を表現できる。